Funciones

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Geometría en el espacio

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Trigonemetría

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Geometría y Trigonometría

Geometría:
La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, entre otros. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
La Geometría se necesitaba para medir las tierras (de ahí viene su nombre), y en general para las obras (puentes, acueductos, edificios, ) que se realizaban.
La Geometría se puede dividir en:
Geometría pura (o elemental):
Trata de las figuras geométricas (triángulo, cuadriláteros, etc.)
Geometría analítica:
Aplica a los problemas de Geometría métodos del Álgebra.
Geometría diferencial:
Estudia las propiedades de las curvas y superficies en un punto.
Geometría proyectiva o Descriptiva:
Permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional, y por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a través de la adecuada lectura.
Geometría Plana: es una parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano. La geometría plana está considerada dentro de la geometría euclidiana, pues ésta estudia las figuras a partir de dos dimensiones. Estudia todo lo que tiene que ver con figuras en un plano y nada con tres dimensiones.
Geometría en el Espacio: se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

Unidades de medidas:
Conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades:
Sistema Internacional de Unidades o SI: Es el sistema más usado. Sus unidades básicas son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol.
Sistema Métrico Decimal: Primer sistema unificado de medidas.
Sistema Cegesimal o CGS.: Denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo.
Sistema Natural: En el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes físicas valgan exactamente 1.
Sistema Técnico de Unidades: Derivado del sistema métrico con unidades del anterior, todavía utilizado en la técnica por ser unidades muy intuitivas.
Sistema Inglés: Aún utilizado en los países anglosajones. Muchos de ellos lo están intentando reemplazar por el Sistema Internacional de Unidades.
Conversión de unidades:
Transformar una medida a otra equivalente en la que han cambiado las unidades que acompañan a la cantidad numérica que se expresa en la medida.
Un método para realizar este proceso es con el uso de los factores de conversión. Con este método basta multiplicar la medida que conocemos por una fracción (factor de conversión) y el resultado es otra medida equivalente en la que han cambiado las unidades.
Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.

Ver página adjunta con el resto del contenido.

Valor Absoluto e Inecuaciones

Debemos recordar que se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. Como por ejemplo:
ax + b = 0

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad: son . Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal.

Entonces:
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición.

La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8.
Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x

Ejemplos:
1) Resolver 2x - 3 > x + 5
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo tenemos:
2x - x > 5 + 3
Reduciendo x > 8
8 es el límite inferior de x, es decir que la desigualdad sólo se verifica para los valores de x mayores que 8.

Características generales de las inecuaciones:
Sea por ejemplo: 5x + 15 > 30
a) Miembros de una inecuación son las partes separadas por el signo de la desigual. La parte que está a la izquierda se llama primer miembro (5x + 15) y el segundo miembro (30).
b) Términos de una inecuación son cada una de las expresiones literales (5x) o numéricas (15 y 30) separadas por el signo + o el signo.
c) Resolver una inecuación es hallar el conjunto solución. En la inecuación dada el conjunto solución es { x > 3 }.
d) El grado de una inecuación está indicado por el mayor exponente de la variable. En el ejemplo el exponente de la variable es 1.
Procedimiento para resolución de una inecuación:
1) Suprimimos signos de colección.
2) Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la inecuación.
3) Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.
4) Despejamos la incógnita.

Nota: Para ver el resto correspondiente al tema hacer clic en elemento de página que aparece en la parte superior izquierda.

Programa de Matemática I

PRIMER CORTE. Valor a evaluar: 30% (6 puntos).

Semana 1
UNIDAD I. Expresiones Algebraicas. Contenido programático.

Semana 2:

Del 16/04/07
Al 21/07
Operaciones con expresiones algebraicas. Adición, sustracción, multiplicación, y división con monomios, binomios, y polinomios. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados para entregarla al docente. Esta actividad tendrá un valor del 10% del primer corte.

Semana 3:

Del 23/04/07 al28/04/07

Productos Notables. Definición. Tipos. Cuadrado de la suma, cuadrado de la diferencia, suma por diferencia, cuadrado de un trinomio, cubo de la suma, cubo de la diferencia. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 4:

Del 30/04/07 al 05/05/07
Factorización. Definición. Métodos. (Factor común, binomios en forma de diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x2 + bx + c. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 5:

Del 07/05/07 al 12/05/07

Continuación… complementación de cuadrados, cociente de una suma o diferencia de potencias iguales, regla de Ruffini. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 6:

Del 14/05/07 al 19/05/07

UNIDAD II. SEGUNDO CORTE. Valor a evaluar: 30% (6 puntos).
Valor absoluto e Inecuaciones.
Valor absoluto. Definición, valor absoluto de expresiones algebraicas. Inecuaciones. Definición, características, propiedades. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.
Evaluación escrita. (Prueba larga).
Porcentaje a evaluar: 20 %.
Equivalencia en nota: 4 Pts.
Contenido a evaluar: Temas dados en las semanas 2,3,4, y 5
Tiempo de duración de la prueba: Bloque de 2 horas.

Observaciones: Queda a criterio del docente el cómo organiza a los estudiantes en el aula de clase, para el desarrollo de la actividad.
ENTREGA DE NOTAS DEL PRIMER CORTE. (viernes 18/05/07- sin excepción) Y en Digital.

Semana 7:

Del 21/05/07 al 26/05/07
Continuación… Inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones de segundo grado con una incógnita, sistema de inecuaciones. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 8:

Del 28/05/07 al 02/06/07

UNIDAD III. Geometría y Trigonometría.
Unidades de medida. (Capacidad, longitud, y superficie). Conversión de unidades. Geometría plana. Figuras planas (triángulo, cuadrilátero, círculo y pentágono). En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 9:

Del 04/06/07 al 09/06/07
Continuación… Elementos básicos de las figuras planas, (Vértices, lados, ángulos, aristas, radio, diámetro, cuerda, arco, sector, circular, mediana, mediatriz). Cálculo perímetro y área. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Evaluación escrita. (Prueba corta).
Porcentaje a evaluar: 10 %.
Equivalencia en nota: 2 Pts.
Contenido a evaluar: Temas dados en las semanas 6 y 7.
Tiempo de duración de la prueba: 45 min.
Observaciones: Queda a criterio del docente el cómo organiza a los estudiantes en el aula de clase, para el desarrollo de la actividad.

Semana 10:

Del 11/06/07 al 16/06/07
Continuación… Geometría en el espacio. Formas tridimensionales. (Cono, pirámide, cilindro, paralelepípedo, pentágono, prisma, trapezoide, esfera). Cálculo de superficie y volumen. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.
Evaluación escrita. (Prueba larga).
Porcentaje a evaluar: 20 %.
Equivalencia en nota: 4 Pts.
Contenido a evaluar: Temas dados en las semanas 8 y 9.
Tiempo de duración de la prueba: Bloque de 2 horas.
Observaciones: Queda a criterio del docente el cómo organiza a los estudiantes en el aula de clase, para el desarrollo de la actividad.
ENTREGA DE NOTAS DEL SEGUNDO CORTE. (viernes 16/06/07- sin excepción) Y en Digital.

Semana 11:

Del 18/06/07 al 23/06/07

UNIDAD III. TERCER CORTE. Valor a evaluar: 30% (6 puntos).
Continuación… Trigonometría. Razones trigonométricas, teorema de Pitágoras, identidades trigonométricas, ley del seno y del coseno. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 12:

Del 25/06/07 al 30/06/07
Continuación… Resolución de triángulos. UNIDAD IV. Plano cartesiano. Relaciones y funciones. Plano cartesiano. Definición, pares ordenados, eje de abscisas, eje de ordenados, cuadrantes, origen. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 13:

Del 02/07/07 al 07/07/07

Continuación… Representación de puntos, distancia entre puntos, punto medio, segmentos. Relaciones y funciones. Definición, dominio y rango. Tipos (Inyectiva, biyectiva, sobreyectiva). En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.
Evaluación escrita. (Prueba corta).
Porcentaje a evaluar: 10 %.
Equivalencia en nota: 2 Pts.
Contenido a evaluar: Temas dados en las semanas 10,11, y 12.
Tiempo de duración de la prueba: 45 min.
Observaciones: Queda a criterio del docente el cómo organiza a los estudiantes en el aula de clase, para el desarrollo de la actividad.

Semana 14:

Del 09/07/07 al 14/07/07

Continuación… Funciones reales. (Afín o lineal, cuadrática, cúbica exponencial, logarítmica, trigonométrica, inversa, recíproca). En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.
PRUEBAS DIFERIDAS DE LOS CORTES I Y II APROBADAS POR EL DEPARTAMENTO. (SOLO LAS DEL 20% Y UNA SOLA EVALUACIÓN). DEL 3ER CORTE NO SE APLICARÁN PRUEBAS DIFERIDAS.

Semana 15:

Del 09/07/07
al 14/07/07
Continuación… Representación gráfica. Simetría, monotonía, traslaciones, funciones definidas por intervalos.

Semana 16:

Del 16/07/07 al 21/05/07
Evaluación escrita. (Prueba larga).
Porcentaje a evaluar: 20 %.
Equivalencia en nota: 4 Pts.
Contenido a evaluar: Temas dados en las semanas 13,14, y 15.
Tiempo de duración de la prueba: El bloque Completo.
Observaciones: Queda a criterio del docente el cómo organiza a los estudiantes en el aula de clase, para el desarrollo de la actividad.

Semana 17:
Del 23/07/07 al 28/07/07
ENTREGA DE NOTAS DEFINITIVAS. (MIÉRCOLES
01/08/07 fecha tope o antes... sin excepción) En Digital Y Físico.

Expresiones Algebraicas

El ÁLGEBRA es la rama de las Matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más generalizado posible, siendo los árabes los primeros en desarrollarla.
En Álgebra el concepto de cantidad es mucho más amplio que en Aritmética, donde las cantidades se representan con números que expresan valores determinados.
Así, 50 expresa un solo valor: cincuenta; y para expresar un valor mayor o menor se debe escribir un número distinto de 50.
· NOTACIÓN ALGEBRAICA
Para representar las cantidades en Álgebra se utilizan símbolos llamados números y letras. Los números representan cantidades conocidas y determinadas, mientras que las letras representan toda clase de cantidades, sean conocidas o desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d ... y las cantidades desconocidas con las últimas letras del alfabeto: u , v , w , x , y , z.
Una misma letra puede representar distintos valores siempre y cuando se diferencien por medio de comillas (por ejemplo: a ', a'', a''', que se leen a prima, a segunda, a tercera), o de subíndices (por ejemplo: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres).

· NOMENCLATURA ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.

Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + ó –.

Un término consta de cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
De acuerdo con su signo, son términos positivos los que van precedidos del signo (+) y negativos los precedidos del signo (–); + a, + 8x, + 9ab son términos positivos, - y, -x son términos negativos.
El signo (+) suele omitirse delante de los términos positivos, con lo que a equivale a + a y 3ab equivale a + 3ab.
Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo.Como ya se dijo, el coeficiente es uno cualquiera (generalmente el primero) de los factores del término. Así, en el término 5a el coeficiente es 5; – 3a el coeficiente es – 3.
Las letras que hay en el término constituyen la parte literal. Así, en 5xy la parte literal es x
El grado de un término pude ser absoluto o con relación a una letra.El grado absoluto es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así el término 4 a es de primer grado que el exponente del factor literal a es de 1; el término ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es de 1+1=2.

El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así, el término bx es de primer grado con relación a b y de primer grado con relación a x.

Otros Ejemplos:

·TIPOS DE TÉRMINOS

Un término entero no tiene denominador literal, como 5a.
Un término fraccionario sí tiene denominador literal, como 3a/b.
Un término racional no tiene radical, como en los ejemplos anteriores, y uno irracional sí tiene radical, como:


Los términos homogéneos tienen el mismo grado absoluto. 4x4y ; 6x2y3 son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto.
Los términos heterogéneos son de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer grado, y 3a2, de segundo grado.

· CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

a) El monomio consta de un solo término; por ejemplo: 3a

b) El polinomio consta de más de un término; por ejemplo: a + b

c) Un binomio es un polinomio que consta de dos términos; por ejemplo: a + b

d) Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos; por ejemplo:a + b + c

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto es el de su término de mayor grado.

Así, en el polinomio:

el primer término es de cuarto grado; el segundo de tercer grado; el tercero de segundo grado, y el último de primer grado; por tanto, el grado absoluto del polinomio es el cuarto.
El grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.

Así, el polinomio a 6 + a4x2 - a2x4 es de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x.

Hacer clic en el elemento de página anexa en la derecha superior de la entrada del blog para ver continuación de expresiones algebraicas.

Continuación - Radicales

Racionalización:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador, en éste caso por sí mismo.

2do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales de 3er, 4to, 5to y más grado.

Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.
3er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.
Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador.
Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2do término del 2do binomio.

Ejercicios de aplicación.
Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones:

Radicales

RADICALES
Radicación: Es la operación inversa de la potenciación.
Llamamos raíz n-ésima de un número dado “a” al número “b” que elevado a “n” nos da “a”


Elementos de la raíz:

Radical: se llama radical a toda raíz indicada de una cantidad.
Si la raíz es exacta tenemos una cantidad racional.
Ejemplos:

Si la raíz es inexacta tenemos una cantidad irracional o radical propiamente dicha.
Ejemplos:

El grado de un radical lo indica el índice de la raíz.

Operaciones con Radicales
Extracción de factores fuera del radical.
Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores de la cantidad sub-radical contiene un exponente igual o mayor que el índice del radical.
Ejercicios de aplicación.
Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:

1)

2)

Respuestas:

1)

2)

Introducción de factores dentro del radical.
Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.
Ejercicios de aplicación.
Introducir los factores que se encuentren fuera del radical:

1)

Respuesta:

Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.
Ejemplo:

Suma y resta de radicales.
Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera.
Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales son únicamente semejantes.
Ejercicios de aplicación.
Sumar el siguiente radical indicado:

Multiplicación de radicales.
a) Para multiplicar radicales del mismo índice; se multiplican previamente los signos, luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera. Matemáticamente es:

Ejercicio de aplicación.
Multiplicar el radical indicado:

Respuesta:

a) Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice.

Ejercicio de aplicación.

División de radicales.
a) Para dividir radicales del mismo índice; se dividen previamente los signos, luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera. Matemáticamente es:

Dividir el radical:

b) Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.

Ejemplo:

Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador.
1er Caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada.

Ejemplos:

Continúa en la otra página.

Factorización

Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.
Antes de iniciar con el tema de factorización, es necesario recordar que es un polinomio.
Definición: Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo:

Donde n pertenece a N (número natural) ;

a0, a1, a2, ... , an son coeficientes reales (pertenecientes al conjunto de los números reales) y "x" se denomina coeficiente indeterminado.

Ejemplo: Son polinomios las expresiones siguientes:

a) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5
Grado de un polinomio: está determinado por el término que posee el valor de potencia más alto.
Ejemplo:
P(x) = x2 + 3x - 4 Polinomio de grado 2
R(x) = 3 Polinomio de grado 0
Q(x) = x5 + 7 x3 - 2 Polinomio de grado 5 , término independiente 2
M(x) = 0 Polinomio nulo.

Factorización de polinomios:
1. Factorización por factor común:
La factorización de polinomios por factor común consiste básicamente en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, para esto recordemos que esta propiedad expresa:
Si a,b,c pertenece a los reales(R) entoces a.(b+c) = a.b + a.c

CASO I: Factor común monomio:
1. Descomponer en factores a 2 + 2a
a 2 y 2a contienen el factor común a . Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos de dividir a 2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos:
a 2 + 2a = a (a + 2)

2. Descomponer 10b - 30ab.
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b, porque está en los dos términos de la expresión da-da, y la tomamos con su menor exponente b.
El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis dentro del cual ponemos los cocientes de dividir 10b ÷ 10b = 1 y - 30ab 2 ÷ 10b = - 3ab , y tendremos:
10b - 3ab 2 = 10b (1 - 3ab )

Prueba general de los factores para hacer la prueba en cualquiera de los diez casos que estudiaremos en este capítulo, basta multiplicar los factores obtenidos y su producto debe ser igual a la expresión factorada.

CASO II: Factor común polinomio:

Ejemplo:

1. Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1)
El factor común es (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1), con lo que tenemos:
Luego tendremos:
2x (a - 1) - y (a - 1) = (a - 1)(2x - y )

CASO III: Factor común por agrupación de términos:
Dado un polinomio en el cual no existe un factor común no constante a todos los sumandos que lo componen, en algunos casos es posible obtener la factorización de dicho polinomio, realizando una "agrupación conveniente" de aquellos sumandos que poseen un factor común.

Ejemplos

1) Descomponer ax + bx + ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y . Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo (+) :
ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by )
= x (a + b ) + y (a + b )
= (a + b )(x + y )

Hay varias formas de hacer la agrupación, con la condición de que los dos términos agrupados tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible, la expresión dada no se puede descomponer por este método.
En el ejemplo anterior podemos agrupar el 1o. y 3er. términos con el factor común a y el 2o. y 4o. con el factor común b, y tendremos:
ax + bx + ay + by = (ax + ay ) + (bx + by )
= a(x + y ) + b (x + y )
= (x + y )(a + b )

Este resultado es idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente.

2. Factorización de una diferencia de cuadrados perfectos:
REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre las raíces del minuendo y del sustraendo.

Ejemplo:

1) Factorar 1 - a 2
La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a 2 es a. Multiplicamos la suma de estas raíces

(1 + a ) por la diferencia (1 - a ) por lo tanto:
1 - a 2 = (1 + a )(1 - a )

2) Descomponer 16x 2 - 25y 4
La raíz cuadrada de 16x 2 es 4x ; la raíz cuadrada de 25y 4 es 5y 2.
Multiplicamos la suma de estas raíces (4x + 5y 2) por su diferencia (4x - 5y 2) por lo tanto:
16x 2 - 25y 4 = (4x + 5y 2)(4x - 5y 2)

3. Factorización de la forma :
REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 +bx + c

1) Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término.

3) Si los dos factores binomios tienen en medio signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio, mismos que serán los segundos términos de los binomios.

4) Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor es el segundo término del segundo binomio.

Ejemplo

1) Factorar x 2 + 5x + 6
Este trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de
x 2, o sea x:
x 2 + 5x + 6 = (x )(x )
En el primer binomio, después de x, se pone el signo (+) porque el segundo término del trinomio (+) 5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar (+ 5x) por (+ 6), y como (+) por (+) da (+), entonces:
x 2 + 5x + 6 (x + )(x + )

Dado que en estos binomios hay signos iguales, buscamos dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Dichos números son 2 y 3, luego:

x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

• Si se trata de un trinomio de segundo grado. Ver teoría y ejemplos, hacer click aquí.

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ecua2g.htm

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id303.htm

4. Para la factorización por completación de cuadrados: a2 + bx + c

Ver páginas Web, indicadas:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/T1-2-expresiones-algebraicas-julioetall/node21.html

Nota: para más información sobre factorización puedes citar la página Web:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/T1-2-expresiones-algebraicas-julioetall/index.html

Regla de Ruffini:

En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a). Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”.

Ver aquí ejemplos:

http://suanzes.iespana.es/ruffini.htm

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm

Producto Notable

Definición
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Son denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente y se usan en factorización de polinomios, simplificación de expresiones. Las más importantes son:

Ejemplo:
Cuadrado de la suma de dos cantidades
1)








Nota:


Para ver más ejemplos hacer click aquí http://usuarios.lycos.es/calculo21/id134.htm
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id136.htm
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id138.htm
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