Funciones

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Geometría en el espacio

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Trigonemetría

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Geometría y Trigonometría

Geometría:
La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, entre otros. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
La Geometría se necesitaba para medir las tierras (de ahí viene su nombre), y en general para las obras (puentes, acueductos, edificios, ) que se realizaban.
La Geometría se puede dividir en:
Geometría pura (o elemental):
Trata de las figuras geométricas (triángulo, cuadriláteros, etc.)
Geometría analítica:
Aplica a los problemas de Geometría métodos del Álgebra.
Geometría diferencial:
Estudia las propiedades de las curvas y superficies en un punto.
Geometría proyectiva o Descriptiva:
Permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional, y por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a través de la adecuada lectura.
Geometría Plana: es una parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano. La geometría plana está considerada dentro de la geometría euclidiana, pues ésta estudia las figuras a partir de dos dimensiones. Estudia todo lo que tiene que ver con figuras en un plano y nada con tres dimensiones.
Geometría en el Espacio: se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

Unidades de medidas:
Conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades:
Sistema Internacional de Unidades o SI: Es el sistema más usado. Sus unidades básicas son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol.
Sistema Métrico Decimal: Primer sistema unificado de medidas.
Sistema Cegesimal o CGS.: Denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo.
Sistema Natural: En el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes físicas valgan exactamente 1.
Sistema Técnico de Unidades: Derivado del sistema métrico con unidades del anterior, todavía utilizado en la técnica por ser unidades muy intuitivas.
Sistema Inglés: Aún utilizado en los países anglosajones. Muchos de ellos lo están intentando reemplazar por el Sistema Internacional de Unidades.
Conversión de unidades:
Transformar una medida a otra equivalente en la que han cambiado las unidades que acompañan a la cantidad numérica que se expresa en la medida.
Un método para realizar este proceso es con el uso de los factores de conversión. Con este método basta multiplicar la medida que conocemos por una fracción (factor de conversión) y el resultado es otra medida equivalente en la que han cambiado las unidades.
Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.

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Valor Absoluto e Inecuaciones

Debemos recordar que se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. Como por ejemplo:
ax + b = 0

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad: son . Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal.

Entonces:
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición.

La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8.
Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x

Ejemplos:
1) Resolver 2x - 3 > x + 5
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo tenemos:
2x - x > 5 + 3
Reduciendo x > 8
8 es el límite inferior de x, es decir que la desigualdad sólo se verifica para los valores de x mayores que 8.

Características generales de las inecuaciones:
Sea por ejemplo: 5x + 15 > 30
a) Miembros de una inecuación son las partes separadas por el signo de la desigual. La parte que está a la izquierda se llama primer miembro (5x + 15) y el segundo miembro (30).
b) Términos de una inecuación son cada una de las expresiones literales (5x) o numéricas (15 y 30) separadas por el signo + o el signo.
c) Resolver una inecuación es hallar el conjunto solución. En la inecuación dada el conjunto solución es { x > 3 }.
d) El grado de una inecuación está indicado por el mayor exponente de la variable. En el ejemplo el exponente de la variable es 1.
Procedimiento para resolución de una inecuación:
1) Suprimimos signos de colección.
2) Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la inecuación.
3) Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.
4) Despejamos la incógnita.

Nota: Para ver el resto correspondiente al tema hacer clic en elemento de página que aparece en la parte superior izquierda.

Programa de Matemática I

PRIMER CORTE. Valor a evaluar: 30% (6 puntos).

Semana 1
UNIDAD I. Expresiones Algebraicas. Contenido programático.

Semana 2:

Del 16/04/07
Al 21/07
Operaciones con expresiones algebraicas. Adición, sustracción, multiplicación, y división con monomios, binomios, y polinomios. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados para entregarla al docente. Esta actividad tendrá un valor del 10% del primer corte.

Semana 3:

Del 23/04/07 al28/04/07

Productos Notables. Definición. Tipos. Cuadrado de la suma, cuadrado de la diferencia, suma por diferencia, cuadrado de un trinomio, cubo de la suma, cubo de la diferencia. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 4:

Del 30/04/07 al 05/05/07
Factorización. Definición. Métodos. (Factor común, binomios en forma de diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x2 + bx + c. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 5:

Del 07/05/07 al 12/05/07

Continuación… complementación de cuadrados, cociente de una suma o diferencia de potencias iguales, regla de Ruffini. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 6:

Del 14/05/07 al 19/05/07

UNIDAD II. SEGUNDO CORTE. Valor a evaluar: 30% (6 puntos).
Valor absoluto e Inecuaciones.
Valor absoluto. Definición, valor absoluto de expresiones algebraicas. Inecuaciones. Definición, características, propiedades. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.
Evaluación escrita. (Prueba larga).
Porcentaje a evaluar: 20 %.
Equivalencia en nota: 4 Pts.
Contenido a evaluar: Temas dados en las semanas 2,3,4, y 5
Tiempo de duración de la prueba: Bloque de 2 horas.

Observaciones: Queda a criterio del docente el cómo organiza a los estudiantes en el aula de clase, para el desarrollo de la actividad.
ENTREGA DE NOTAS DEL PRIMER CORTE. (viernes 18/05/07- sin excepción) Y en Digital.

Semana 7:

Del 21/05/07 al 26/05/07
Continuación… Inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones de segundo grado con una incógnita, sistema de inecuaciones. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 8:

Del 28/05/07 al 02/06/07

UNIDAD III. Geometría y Trigonometría.
Unidades de medida. (Capacidad, longitud, y superficie). Conversión de unidades. Geometría plana. Figuras planas (triángulo, cuadrilátero, círculo y pentágono). En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 9:

Del 04/06/07 al 09/06/07
Continuación… Elementos básicos de las figuras planas, (Vértices, lados, ángulos, aristas, radio, diámetro, cuerda, arco, sector, circular, mediana, mediatriz). Cálculo perímetro y área. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Evaluación escrita. (Prueba corta).
Porcentaje a evaluar: 10 %.
Equivalencia en nota: 2 Pts.
Contenido a evaluar: Temas dados en las semanas 6 y 7.
Tiempo de duración de la prueba: 45 min.
Observaciones: Queda a criterio del docente el cómo organiza a los estudiantes en el aula de clase, para el desarrollo de la actividad.

Semana 10:

Del 11/06/07 al 16/06/07
Continuación… Geometría en el espacio. Formas tridimensionales. (Cono, pirámide, cilindro, paralelepípedo, pentágono, prisma, trapezoide, esfera). Cálculo de superficie y volumen. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.
Evaluación escrita. (Prueba larga).
Porcentaje a evaluar: 20 %.
Equivalencia en nota: 4 Pts.
Contenido a evaluar: Temas dados en las semanas 8 y 9.
Tiempo de duración de la prueba: Bloque de 2 horas.
Observaciones: Queda a criterio del docente el cómo organiza a los estudiantes en el aula de clase, para el desarrollo de la actividad.
ENTREGA DE NOTAS DEL SEGUNDO CORTE. (viernes 16/06/07- sin excepción) Y en Digital.

Semana 11:

Del 18/06/07 al 23/06/07

UNIDAD III. TERCER CORTE. Valor a evaluar: 30% (6 puntos).
Continuación… Trigonometría. Razones trigonométricas, teorema de Pitágoras, identidades trigonométricas, ley del seno y del coseno. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 12:

Del 25/06/07 al 30/06/07
Continuación… Resolución de triángulos. UNIDAD IV. Plano cartesiano. Relaciones y funciones. Plano cartesiano. Definición, pares ordenados, eje de abscisas, eje de ordenados, cuadrantes, origen. En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.

Semana 13:

Del 02/07/07 al 07/07/07

Continuación… Representación de puntos, distancia entre puntos, punto medio, segmentos. Relaciones y funciones. Definición, dominio y rango. Tipos (Inyectiva, biyectiva, sobreyectiva). En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.
Evaluación escrita. (Prueba corta).
Porcentaje a evaluar: 10 %.
Equivalencia en nota: 2 Pts.
Contenido a evaluar: Temas dados en las semanas 10,11, y 12.
Tiempo de duración de la prueba: 45 min.
Observaciones: Queda a criterio del docente el cómo organiza a los estudiantes en el aula de clase, para el desarrollo de la actividad.

Semana 14:

Del 09/07/07 al 14/07/07

Continuación… Funciones reales. (Afín o lineal, cuadrática, cúbica exponencial, logarítmica, trigonométrica, inversa, recíproca). En la clase virtual resolver la guía de ejercicios predeterminados.
PRUEBAS DIFERIDAS DE LOS CORTES I Y II APROBADAS POR EL DEPARTAMENTO. (SOLO LAS DEL 20% Y UNA SOLA EVALUACIÓN). DEL 3ER CORTE NO SE APLICARÁN PRUEBAS DIFERIDAS.

Semana 15:

Del 09/07/07
al 14/07/07
Continuación… Representación gráfica. Simetría, monotonía, traslaciones, funciones definidas por intervalos.

Semana 16:

Del 16/07/07 al 21/05/07
Evaluación escrita. (Prueba larga).
Porcentaje a evaluar: 20 %.
Equivalencia en nota: 4 Pts.
Contenido a evaluar: Temas dados en las semanas 13,14, y 15.
Tiempo de duración de la prueba: El bloque Completo.
Observaciones: Queda a criterio del docente el cómo organiza a los estudiantes en el aula de clase, para el desarrollo de la actividad.

Semana 17:
Del 23/07/07 al 28/07/07
ENTREGA DE NOTAS DEFINITIVAS. (MIÉRCOLES
01/08/07 fecha tope o antes... sin excepción) En Digital Y Físico.

Expresiones Algebraicas

El ÁLGEBRA es la rama de las Matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más generalizado posible, siendo los árabes los primeros en desarrollarla.
En Álgebra el concepto de cantidad es mucho más amplio que en Aritmética, donde las cantidades se representan con números que expresan valores determinados.
Así, 50 expresa un solo valor: cincuenta; y para expresar un valor mayor o menor se debe escribir un número distinto de 50.
· NOTACIÓN ALGEBRAICA
Para representar las cantidades en Álgebra se utilizan símbolos llamados números y letras. Los números representan cantidades conocidas y determinadas, mientras que las letras representan toda clase de cantidades, sean conocidas o desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d ... y las cantidades desconocidas con las últimas letras del alfabeto: u , v , w , x , y , z.
Una misma letra puede representar distintos valores siempre y cuando se diferencien por medio de comillas (por ejemplo: a ', a'', a''', que se leen a prima, a segunda, a tercera), o de subíndices (por ejemplo: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres).

· NOMENCLATURA ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.

Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + ó –.

Un término consta de cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
De acuerdo con su signo, son términos positivos los que van precedidos del signo (+) y negativos los precedidos del signo (–); + a, + 8x, + 9ab son términos positivos, - y, -x son términos negativos.
El signo (+) suele omitirse delante de los términos positivos, con lo que a equivale a + a y 3ab equivale a + 3ab.
Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo.Como ya se dijo, el coeficiente es uno cualquiera (generalmente el primero) de los factores del término. Así, en el término 5a el coeficiente es 5; – 3a el coeficiente es – 3.
Las letras que hay en el término constituyen la parte literal. Así, en 5xy la parte literal es x
El grado de un término pude ser absoluto o con relación a una letra.El grado absoluto es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así el término 4 a es de primer grado que el exponente del factor literal a es de 1; el término ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es de 1+1=2.

El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así, el término bx es de primer grado con relación a b y de primer grado con relación a x.

Otros Ejemplos:

·TIPOS DE TÉRMINOS

Un término entero no tiene denominador literal, como 5a.
Un término fraccionario sí tiene denominador literal, como 3a/b.
Un término racional no tiene radical, como en los ejemplos anteriores, y uno irracional sí tiene radical, como:


Los términos homogéneos tienen el mismo grado absoluto. 4x4y ; 6x2y3 son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto.
Los términos heterogéneos son de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer grado, y 3a2, de segundo grado.

· CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

a) El monomio consta de un solo término; por ejemplo: 3a

b) El polinomio consta de más de un término; por ejemplo: a + b

c) Un binomio es un polinomio que consta de dos términos; por ejemplo: a + b

d) Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos; por ejemplo:a + b + c

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto es el de su término de mayor grado.

Así, en el polinomio:

el primer término es de cuarto grado; el segundo de tercer grado; el tercero de segundo grado, y el último de primer grado; por tanto, el grado absoluto del polinomio es el cuarto.
El grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.

Así, el polinomio a 6 + a4x2 - a2x4 es de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x.

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