Antes de iniciar con el tema de factorización, es necesario recordar que es un polinomio.
Definición: Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo:
Donde n pertenece a N (número natural) ; a) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5
Grado de un polinomio: está determinado por el término que posee el valor de potencia más alto.
Ejemplo:
P(x) = x2 + 3x - 4 Polinomio de grado 2
R(x) = 3 Polinomio de grado 0
Q(x) = x5 + 7 x3 - 2 Polinomio de grado 5 , término independiente 2
M(x) = 0 Polinomio nulo.
Factorización de polinomios:
1. Factorización por factor común:
La factorización de polinomios por factor común consiste básicamente en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, para esto recordemos que esta propiedad expresa:
Si a,b,c pertenece a los reales(R) entoces a.(b+c) = a.b + a.c
CASO I: Factor común monomio:
1. Descomponer en factores a 2 + 2a
a 2 y 2a contienen el factor común a . Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos de dividir a 2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos:
a 2 + 2a = a (a + 2)
2. Descomponer 10b - 30ab.
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b, porque está en los dos términos de la expresión da-da, y la tomamos con su menor exponente b.
El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis dentro del cual ponemos los cocientes de dividir 10b ÷ 10b = 1 y - 30ab 2 ÷ 10b = - 3ab , y tendremos:
10b - 3ab 2 = 10b (1 - 3ab )
Prueba general de los factores para hacer la prueba en cualquiera de los diez casos que estudiaremos en este capítulo, basta multiplicar los factores obtenidos y su producto debe ser igual a la expresión factorada.
CASO II: Factor común polinomio:
Ejemplo:
1. Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1)
El factor común es (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1), con lo que tenemos:
Luego tendremos:
2x (a - 1) - y (a - 1) = (a - 1)(2x - y )
CASO III: Factor común por agrupación de términos:
Dado un polinomio en el cual no existe un factor común no constante a todos los sumandos que lo componen, en algunos casos es posible obtener la factorización de dicho polinomio, realizando una "agrupación conveniente" de aquellos sumandos que poseen un factor común.
Ejemplos
1) Descomponer ax + bx + ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y . Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo (+) :
ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by )
= x (a + b ) + y (a + b )
= (a + b )(x + y )
Hay varias formas de hacer la agrupación, con la condición de que los dos términos agrupados tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible, la expresión dada no se puede descomponer por este método.
En el ejemplo anterior podemos agrupar el 1o. y 3er. términos con el factor común a y el 2o. y 4o. con el factor común b, y tendremos:
ax + bx + ay + by = (ax + ay ) + (bx + by )
= a(x + y ) + b (x + y )
= (x + y )(a + b )
Este resultado es idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente.
2. Factorización de una diferencia de cuadrados perfectos:
REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre las raíces del minuendo y del sustraendo.
La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a 2 es a. Multiplicamos la suma de estas raíces
1 - a 2 = (1 + a )(1 - a )
La raíz cuadrada de 16x 2 es 4x ; la raíz cuadrada de 25y 4 es 5y 2.
Multiplicamos la suma de estas raíces (4x + 5y 2) por su diferencia (4x - 5y 2) por lo tanto:
16x 2 - 25y 4 = (4x + 5y 2)(4x - 5y 2)
3. Factorización de la forma :
REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 +bx + c
Ejemplo
Este trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de
x 2, o sea x:
x 2 + 5x + 6 = (x )(x )
En el primer binomio, después de x, se pone el signo (+) porque el segundo término del trinomio (+) 5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar (+ 5x) por (+ 6), y como (+) por (+) da (+), entonces:
x 2 + 5x + 6 (x + )(x + )
- Si se trata de un trinomio de segundo grado. Ver teoría y ejemplos, hacer click aquí.
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ecua2g.htm
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id303.htm
Ver páginas Web, indicadas:
Nota: para más información sobre factorización puedes citar la página Web:
Regla de Ruffini:
En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a). Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”.
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